Однако не всегда целесообразно сразу же обращаться к дифференциальным уравнениям. В некоторых случаях анализ движения самолета можно провести специальными методами, имеющими те или иные физические основы. Одним из них является энергетический метод, разработанный Н.Е.Жуковским и развитый до современного уровня советским ученым проф. В.С.Пышновым.
Механическая энергия самолета (Е) состоит из энергии потенциальной (Eп) и энергии кинетической (Eк).
E=Eк+Eп=G*H+(m*V²)/2
Но по запасу механической энергии, измеряемому в Ньютонометрах (Джоулях), о маневренных возможностях самолета ничего сказать нельзя. Пусть, например, первый самолет обладает в полете энергией 109 Дж, а второй - 5×108 Дж. Можно ли сказать, что первый самолет обладает лучшими возможностями дли маневра? Нельзя. Если первый самолет имеет массу 100 т, то его энергия соответствует скорости полета (у земли) 360 км/ч; если же второй самолет имеет массу 10 т, то его скорость (у земли) равна 1140 км/ч; т. е. второй самолет в отличие от первого может выполнить и горку, и боевой разворот, и любой другой энергичный маневр с большим набором высоты.
Следовательно, целесообразнее рассматривать удельную механическую энергию, т. е. механическую энергию, отнесенную к единице веса самолета
Hэ=H+Hк=H+V²/(2*g)
где
Hэ=E/G - удельная механическая энергия самолета, или энергетическая высота;
H=Eп/G - удельная потенциальная энергия самолета, или просто высота полета;
Hк=Eк/G=V²/(2*g) - удельная кинетическая энергия самолета, или кинетическая высота.
Например, если самолет летит на высоте 5 км со скоростью 1080 км/ч (300 м/с), то у него Нк=4500 м и Нэ=9500 м (рис. 1). Энергетическую высоту называют также уровнем удельной механической энергии самолета, или короче - уровнем энергии.
|
|
Рис. 1. Запас удельной механической энергии самолета |
Физический смысл энергетической высоты состоит в том, что при равенстве нулю суммы поверхностных тангенциальных сил (тяги, трения, лобового сопротивления) любое тело в гравитационном поле может за счет полного превращения кинетической энергии в потенциальную подняться на высоту Нэ=Н+Нк (рис. 2).
В области высот и скоростей полета самолета можно провести изолинии равных энергетических высот (линии равных уровней энергии), т.е. такие, вдоль которых Hэ=H+V²/(2*g)=const. Естественно, что при V=0 получим Н=Нэ, а при Н=0 получим V=sqrt(2*g*Нэ). Из рис. 3 видно, что максимальной энергией самолет обладает не на статическом потолке (точка «к»), а в правой верхней части графика («л»). В нашем примере Нэ макс=40 км; т. е. самолет, выполняя горку из точки «л» с углом Θ=+90° при условии P=Q (nx=0), мог бы теоретически, потеряв скорость до нуля, набрать высоту 40 км. Практически горку целесообразнее начинать ниже точки «л» и не выходить на вершине горки за границу горизонтального полета самолета (за линию «г-д»); при этом дополнительный набор высоты сверх статического потолка составит 4-5 км.
|
|
Рис. 2. Физический смысл энергетической высоты |
Проследим, от каких факторов зависит изменение уровня энергии самолета. Приращение энергии dE равно работе тангенциальных сил Р и Q на пути dS:
dE =(P—Q)*dS или dHэ=nx*dS;
но dS=V*dt, откуда dHэ/dt=nx*V.
Скорость набора энергетической высоты называют также энергетической скороподъемностью
Vyэ=dHэ/dt
Получен интересный результат, заключающийся в том, что скорость набора энергии пропорциональна продольной перегрузке nх. Таким образом, если P=Q, то Hэ=const; если P>Q, то Hэ растет; если P меньше Q, то Нэ падает.
Увеличение или уменьшение энергии самолета прямо не связано с увеличением или уменьшением скорости или высоты. При Нэ=const скорость полета может и падать и возрастать (при противоположном изменении высоты). В частном случае горизонтального полета, т. е. при Н=const, приращение ΔHэ равно приращению кинетической высоты ΔHк=(V2²-V1²)/(2*g); при установившемся наборе с V=const имеем ΔHэ=ΔH и Vyэ=Vy.
|
|
Рис. 3. Линии равных уровней энергии. |
Покажем на примерах, как можно использовать энергетический метод в задачах динамики полета:
а) Самолет выполняет горку от V1=1800 км/ч (500 м/с) до V2=1440 км/ч (400 м/с), имея в среднем P=Q (nx=0).
Требуется найти приращение высоты за горку. Так как пх=0, то Нэ2=Нэ1, т. е.
H2+V2²/(2*g)=H1+V1²/(2*g)
откуда
H2-H1=ΔH=(500²-400²)/(2*9.8)=4600 м
Таким образом, за счет уменьшения скорости на 360 км/ч можно на такой горке набрать дополнительную высоту 4600 м.
б) Самолет выполняет горку от V1=560 км/ч (155 м/с) до V2=200 км/ч (55 м/с), имея в среднем P=Q (nх=0). Аналогично находим
ΔH=(155²-55²)/(2*9.8)=1050 м.
Таким образом, за счет уменьшения скорости на тe же 360 км/ч здесь можно набрать дополнительную высоту только 1050 м.
На основании разобранных двух примеров можно сделать важнейший практический вывод, имеющий значение для выбора способа пилотирования в воздушном бою. Мы видим, что при сравнительно малых скоростях (200-560 км/ч), характерных для истребителей второй мировой войны, небольшое изменение высоты (±1050 м) приводит к сравнительно большому изменению скорости (±360 км/ч), т. е. главным слагаемым уровня энергии здесь является высота, которую легко превратить в скорость. Отсюда вытекала знаменитая «формула Покрышкина»:
ВЫСОТА-СКОРОСТЬ-МАНЕВР-ОГОНЬ.
При больших скоростях, характерных для современных самолетов (в нашем примере это 1440—1800 км/ч), наоборот, сравнительно небольшое изменение скорости (±360 км/ч) приводит к большому изменению высоты (±4600 м), т. е. главным слагаемым уровня энергии здесь является кинетическая высота (зависящая от скорости), которую легко превратить в высоту, поэтому в современных условиях «формула Покрышкина» должна звучать так:
СКОРОСТЬ-ВЫСОТА-МАНЕВР-ОГОНЬ.
По запасу энергии можно определить дальность планирования L при полете с переменной скоростью по примерно прямолинейной траектории. Проделаем следующие выкладки:
- имеем dHэ=nx*dS=nx*(dL/cosΘ) , где dS - элемент пути по наклонной траектории;
- продольная перегрузка при Р=0 равна nx=-(Q/G)=-(Q*cosΘ)/Y=-(cosΘ/k);
итак, дальность планирования будет равна
Введя среднее аэродинамическое качество kср получим приближенную формулу
L=kcp*(Нэ1-Hэ2),
где
- Нэ1 - уровень энергии в начале планирования;
- Нэ2 - уровень энергии в конце планирования (при нулевой высоте и посадочной скорости).
Пример. Дано V1=1800 км/ч (500 м/с), Н1=10 км, V2=288 км/ч (80 м/с), Н2=0, kср=6. Дальность планирования при этих условиях будет равна
L=6*(10000+(500&sub2;-80&sub2;)/(2*9.8))= 134600 м = 135 км
И, наконец, покажем, как энергетическим методом приближенно решается задача о выходе на заданные высоту и скорость в минимальное время. Выведем интеграл времени
Следовательно, для перехода в минимальное время от Нэ1 до Нэ2 требуется, чтобы подынтегральная функция 1/(nx*V) была минимальной, т. е. самолет должен пересекать каждую энергетическую высоту (каждую линию Нэ=const на рис. 4) в точке, в которой на данной линии nx*V=макс. Величины nx*V можно получить из графиков умножая пxp¹ в каждой точке на соответствующую скорость V. Решение задачи будет иметь примерно такой вид, как это показано на рис. 4. Здесь на каждой линии Нэ=const большой точкой отмечен режим, на котором nx*V=макс; в соседних точках (на этой же линии) nx*V меньше. Оптимальная программа изменения скорости по высоте обеспечивающая переход из А в Б за минимальное время показана сплошными стрелками. Если начальная или конечная точки не лежат на линии оптимальной программы (на А-Б), то выход па эту линию или сход с нее осуществляются пикированием или горкой.
|
|
Рис. 4. Пpoгpaммa набора высоты и скорости в минимальное время (пример) |
Нетрудно было заметить, что в последнем примере энергетическим методом решена вариационная задача динамики полета, т. е. найдена программа V=V(H) по заданному условию оптимальности tАБ=мин.
Таким образом, энергетический метод позволяет приближенно решать большой класс задач динамики полета, не прибегая к громоздким вычислениям, связанным с численным интегрированием системы дифференциальных уравнений.
В систему дифференциальных уравнений, описывающих движение самолета по пространственным траекториям, и во все формулы, по которым определяются те или иные параметры маневров в частных случаях движения, входят перегрузки nх и ny.
Таким образом, характеристики маневров зависят от величины уже рассмотренных перегрузок пур, nyэмакс, nупр, nxр и nxр¹ а также от тех эксплуатационных факторов, которые влияют на эти перегрузки.